2.3 Probabilidad de Eventos

 Probabilidad de Eventos

En probabilidad, un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral (el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio).

La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1 que mide la posibilidad de que ocurra dicho evento. Se denota como $P(A)$, donde $A$ es el evento.

Espacio Muestral

El espacio muestral, también llamado espacio de muestreo, es el conjunto de sucesos elementales de un experimento aleatorio. Es decir, el espacio muestral son todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

El símbolo del espacio muestral es la letra griega Omega mayúscula (Ω), aunque también se puede representar con la letra E mayúscula.

Tipos de espacios muestrales

Los tipos de espacios muestrales son:

• Espacio muestral discreto (o numerable): un espacio muestral es discreto cuando el número de posibles resultados es finito o infinito numerable.
• Espacio muestral continuo: un espacio muestral es continuo cuando el número de posibles resultados es infinito.

Por ejemplo, el lanzamiento de un dado y el lanzamiento de una moneda tienen espacios muestrales discretos finitos. Pero lanzar una moneda hasta que salga cara consiste en un espacio muestral discreto infinito numerable, porque el número de resultados es finito pero el número de lanzamientos no, ya que no sabes cuántas veces debes tirar la moneda hasta que salga cara

Cómo calcular el espacio muestral

1. Para experimentos simples:

   • Si el experimento consiste en lanzar un dado de 6 caras, el espacio muestral es: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
   • Si el experimento es lanzar una moneda, el espacio muestral es: $$S = \{\text{cara}, \text{cruz}\}$$

2. Para experimentos combinados:

   • Si lanzamos dos monedas, el espacio muestral es: $$S = \{(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)\}$$ donde $C$ es cara y $X$ es cruz.
   • Si lanzamos dos dados, hay $6 \times 6 = 36$ combinaciones posibles: $$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), \dots, (6,6)\}$$

3. Fórmula general con principio de multiplicación:
   Si hay $n_1$ formas de realizar la primera acción y $n_2$ formas de realizar la segunda, el tamaño del espacio muestral se calcula como:

   $$|S| = n_1 \times n_2$$

   Para $k$ eventos independientes:

   $$|S| = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$$

Eventos

 Un evento es un conjunto de resultados de un experimento aleatorio. Por lo tanto, un evento puede ser un solo resultado o un grupo de resultados de un experimento. Por ejemplo, un evento del experimento aleatorio de lanzar una moneda es obtener «cara».

Simbología de Union

Tabla de símbolos de la teoría de conjuntos

Símbolo	Nombre del símbolo	Significado / definición	Ejemplo
{}	conjunto	una colección de elementos	A = {3,7,9,14}, B = {9,14,28}
|	tal que	así que eso	A = { x | x ∈ , x <0}
A⋂B	intersección	objetos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B	A ⋂ B = {9,14}
A⋃B	Unión	objetos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B	A ⋃ B = {3,7,9,14,28}
A⊆B	subconjunto	A es un subconjunto de B. el conjunto A está incluido en el conjunto B.	{9,14,28} ⊆ {9,14,28}
A⊂B	subconjunto adecuado / subconjunto estricto	A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B.	{9,14} ⊂ {9,14,28}
A⊄B	no subconjunto	el conjunto A no es un subconjunto del conjunto B	{9,66} ⊄ {9,14,28}
A⊇B	superconjunto	A es un superconjunto de B. el conjunto A incluye el conjunto B	{9,14,28} ⊇ {9,14,28}
A⊃B	superconjunto adecuado / superconjunto estricto	A es un superconjunto de B, pero B no es igual a A.	{9,14,28} ⊃ {9,14}
A⊅B	no superconjunto	el conjunto A no es un superconjunto del conjunto B	{9,14,28} ⊅ {9,66}
2 A	set de poder	todos los subconjuntos de A
	set de poder	todos los subconjuntos de A
A = B	igualdad	ambos conjuntos tienen los mismos miembros	A = {3,9,14}, B = {3,9,14}, A = B
Una c	complemento	todos los objetos que no pertenecen al conjunto A
UNA'	complemento	todos los objetos que no pertenecen al conjunto A
A \ B	complemento relativo	objetos que pertenecen a A y no a B	A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A \ B = {9,14}
AB	complemento relativo	objetos que pertenecen a A y no a B	A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A - B = {9,14}
A∆B	diferencia simétrica	objetos que pertenecen a A o B pero no a su intersección	A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A ∆ B = {1,2,9,14}
A⊖B	diferencia simétrica	objetos que pertenecen a A o B pero no a su intersección	A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A ⊖ B = {1,2,9,14}
a ∈A	elemento de, pertenece a	establecer membresía	A = {3,9,14}, 3 ∈ A
x ∉A	no es elemento de	sin membresía establecida	A = {3,9,14}, 1 ∉ A
( a , b )	par ordenado	colección de 2 elementos
A × B	producto cartesiano	conjunto de todos los pares ordenados de A y B
| A |	cardinalidad	el número de elementos del conjunto A	A = {3,9,14}, | A | = 3
#UNA	cardinalidad	el número de elementos del conjunto A	A = {3,9,14}, # A = 3
|	barra vertical	tal que	A = {x | 3 <x <14}
ℵ 0	aleph-null	cardinalidad infinita de números naturales establecidos
ℵ 1	aleph-one	cardinalidad del conjunto de números ordinales contables
Ø	conjunto vacio	Ø = {}	A = Ø
	conjunto universal	conjunto de todos los valores posibles
ℕ 0	conjunto de números naturales / números enteros (con cero)	0 = {0,1,2,3,4, ...}	0 ∈ 0
ℕ 1	conjunto de números naturales / números enteros (sin cero)	1 = {1,2,3,4,5, ...}	6 ∈ 1
ℤ	conjunto de números enteros	= {...- 3, -2, -1,0,1,2,3, ...}	-6 ∈
ℚ	conjunto de números racionales	= { x | x = un / b , un , b ∈ y b ≠ 0}	2/6 ∈
ℝ	conjunto de números reales	= { x | -∞ < x <∞}	6.343434 ∈
ℂ	conjunto de números complejos	= { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞}	6 + 2 yo ∈

Union de Intersección

La unión de dos sucesos A y B es la probabilidad de que ocurra el suceso A, el suceso B o los dos sucesos a la vez.

El símbolo de la unión de dos sucesos diferentes es una U, por lo que la unión de dos sucesos se expresa con una U en medio de las dos letras que representan los sucesos.

La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de la probabilidad de ocurrencia de cada suceso menos la probabilidad de la intersección de ambos sucesos.

Diagrama de Venn

El diagrama de Venn es un tipo de organizador grafico que muestra cómo se relacionan dos o más conjuntos de elementos, puesto que, mediante círculos superpuestos, representa qué características comparten y cuáles no dos o más categorías, grupos, ideas, conceptos, teorías, entre otros.

En el diagrama de Venn hay:

• Un rectángulo. Representa el universo, es decir, la totalidad de elementos, y se designa con un título. En algunos diagramas no hay un rectángulo, pero sí un título.
• Dos o más círculos. Representan los conjuntos, las ideas, los conceptos o las categorías que se designan con un título o una oración.
• Palabras o frases. Representan los elementos de un conjunto, los integrantes de una categoría o una serie de características.
• Una superposición entre los círculos. Representa los vínculos entre los conjuntos, que pueden ser de intersección, inclusión o disyunción.
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• Referencias Bibliográficas
• Probabilidad y Estadística. (s.f.). Operaciones con sucesos. Probabilidad y Estadística. https://www.probabilidadyestadistica.net/operaciones-con-sucesos/
• RapidTables. (s.f.). Set symbols. RapidTables. https://www.rapidtables.org/math/symbols/Set_Symbols.html
• Probabilidad y Estadística. (s.f.). Espacio muestral. Probabilidad y Estadística. https://www.probabilidadyestadistica.net/espacio-muestral/
• Probabilidad y Estadística. (s.f.). Probabilidad de un evento. Probabilidad y Estadística. https://www.probabilidadyestadistica.net/probabilidad-de-un-evento/
• Fundamentos de Probabilidad. (2021, febrero). Probabilidad de eventos: definición. Blogspot. https://fundamentosdeprobabilidad.blogspot.com/2021/02/23-probabilidad-de-eventos-definicion.htm