Teorías de Conteo

 Teorías de Conteo

 


Que es una Tecnica de Conteo

Es un tipo de conteo números y formas que puede ocurrir en diferentes o varios eventos sin la necesidad de enumerarlos uno a uno. 

Principales principios de la teoría de conteo

  1. Principio de la adición: Si un evento A puede ocurrir de mm maneras y un evento B de nn maneras, y A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir simultáneamente), entonces el número total de formas en que puede ocurrir A o B es:

    m+nm + n

  2. Principio de la multiplicación: Si un evento A puede ocurrir de mm maneras y, una vez que ocurre A, un evento B puede ocurrir de nn maneras, entonces el número total de formas en que pueden ocurrir A y B juntos es:

    m×n

Principio Aditivo


El principio aditivo (o principio de la suma) es una regla básica de conteo que establece lo siguiente:

 Si un evento A puede ocurrir de mm maneras y un evento B puede ocurrir de nn maneras, y A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo), entonces el número total de formas en que puede ocurrir A o B es:

m+nm + n

Ejemplo 1: Ropa

Si tienes 3 camisetas y 2 pantalones, y solo puedes elegir una prenda (camiseta o pantalón), el número total de opciones que tienes es:

3+2=53 + 2 = 5

Ejemplo 2: Transportes

Un estudiante puede ir a la escuela de dos maneras:

1. En autobús (hay 4 rutas diferentes).

2. En bicicleta (hay 2 modelos disponibles en renta).

Si solo puede elegir una forma de transporte, el número total de formas en que puede ir a la escuela es:

4+2=64 + 2 = 6

Principio Multiplicativo



El principio multiplicativo (o principio de la multiplicación) es una regla fundamental de la teoría de conteo que establece lo siguiente:

Si un evento A puede ocurrir de mm maneras y, después de que ocurre A, un evento B puede ocurrir de nn maneras, entonces el número total de formas en que pueden ocurrir ambos eventos juntos es:

m×nm \times n

Ejemplo 1: Ropa

Si tienes:

  • 3 camisetas
  • 2 pantalones

Y decides elegir una camiseta y un pantalón, el número total de combinaciones posibles es:

3×2=63 \times 2 = 6

Ejemplo 2: Menú de comida

Si en un restaurante puedes elegir:

  • 4 tipos de entradas
  • 5 platos principales
  • 3 postres

El número total de combinaciones posibles de comida es:

4×5×3=604 \times 5 \times 3 = 60

Notación Factorial


Esta notación se utiliza para el cálculo de productos de números naturales es decir de los enteros a positivos, comenzado desde el 1 hasta el valor n.

n! = 1⋅2⋅3…. (n-1)⋅n

Calcular el factorial de un número es sencillo, por ejemplo, el producto de los seis primeros números naturales se expresa mediante:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Ejemplos de factoriales

  • 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
  • 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6
  • 1!=11! = 1
  • 0!=10! = 1

Usos del factorial

  1. Permutaciones (ordenaciones de elementos):
    P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
  2. Combinaciones (selección de elementos sin importar el orden):
    C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
  3. Teorema del binomio y desarrollo de expresiones algebraicas.
  4. Cálculo de probabilidades y conteo en matemáticas discretas

Permutaciones 


Una permutación es una disposición u ordenación de un conjunto de elementos en una secuencia específica. Se utilizan cuando el orden de los elementos es importante.

En otras palabras, si tenemos un conjunto de nn elementos y queremos ordenarlos en diferentes maneras, cada una de estas formas es una permutación.

Ejemplo

Si hay 4 personas (Ana, Bruno, Carlos y Diana) y queremos organizarlas en un podio con 3 posiciones, el número de formas en que pueden ocupar esas posiciones es:

P(4,3)=4!(4−3)!=4!1!=4×3×2×11=24P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24

Esto significa que hay 24 maneras distintas de organizar a estas 4 personas en el podio.

Combinaciones


Una combinación es una selección de elementos de un conjunto donde el orden no importa. Se usa cuando solo importa qué elementos se eligen, pero no el orden en que aparecen.

La fórmula para calcular combinaciones sin repetición es:

C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}

Ejemplo

Si hay 5 estudiantes (A, B, C, D, E) y se quiere formar un equipo de 3, el número de formas de hacerlo es:

C(5,3)=5!3!(5−3)!=5!3!2!=5×42×1=10C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Esto significa que hay 10 maneras distintas de elegir un equipo de 3 estudiantes

Diagrama de Arbol


Un diagrama de árbol es una representación gráfica utilizada para mostrar todas las posibles combinaciones o secuencias de eventos de forma ramificada. Se usa en probabilidad y conteo para visualizar diferentes caminos o elecciones.

Cada ramificación representa una opción en cada etapa del problema, y los caminos completos muestran todos los resultados posibles.

Ejemplo 1: Lanzamiento de una Moneda y un Dado

Si lanzamos una moneda (cara o cruz) y luego un dado (1-6), el diagrama de árbol mostraría:

1. Primer evento: La moneda tiene 2 

opciones → Cara (C) o Cruz (X)

2.Segundo evento: Después de cada resultado, el dado tiene 6 opciones (1-6)

El total de combinaciones posibles es 2 × 6 = 12, representadas como:

  • C → 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • X → 1, 2, 3, 4, 5, 6

Teorema del Binomio


En probabilidad, el teorema del binomio se aplica para modelar situaciones en las que hay dos resultados posibles en un experimento, como un éxito o un fracaso. Se usa para calcular la probabilidad de obtener exactamente kk éxitos en nn intentos, si la probabilidad de éxito en cada intento es pp y la probabilidad de fracaso es 1−p1 - p.

La fórmula para calcular la probabilidad de obtener exactamente kk éxitos en nn intentos es:

P(X=k)=C(n,k)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}

donde:

  • C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} es el coeficiente binomial,
  • pp es la probabilidad de éxito en un solo intento,
  • 1−p1 - p es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo de Probabilidad Binomial

Imaginemos que lanzamos una moneda 5 veces, y queremos saber la probabilidad de obtener exactamente 3 caras.

  • n=5n = 5 (5 lanzamientos),
  • k=3k = 3 (3 caras),
  • p=0.5p = 0.5 (probabilidad de obtener cara en un lanzamiento).

La probabilidad se calcula como:

P(X=3)=C(5,3)⋅(0.5)3⋅(0.5)5−3P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5 - 3}

Primero, calculamos C(5,3)C(5, 3):

C(5,3)=5!3!2!=5×42×1=10C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Ahora sustituimos en la fórmula:

P(X=3)=10⋅(0.5)3⋅(0.5)2=10⋅0.125⋅0.25=10⋅0.03125=0.3125P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de una moneda es 0.3125 o 31.25%.





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